algebra1.nb

Решаване на уравнения и системи уравнения с функциите на Mathematica:
Solve, Eliminate, Reduce, FindRoot
от системния помощник в меню Help/Help Browser ...

Трябва да отбележим, че вградената функция Solve[ ] винаги опитва да използва математически формули за да реши уравненията точно. Ако това не е възможно пробваме функциите NSolve, Eliminate, Reduce, FindRoot, ...

Пример 1. Решаване на квадратно уравнение и извличане на корените му от списъка на решенията:

Solve[x^2  4] ... 4;о  вместо = *) x1 = x/.%[[1]] x2 = x/.%%[[2]]

Проверка на съдържанието на x1, x2 :

Пример 2. Решаване на полиномното уравнение

z = Solve[x^6 - 10] x3 = x/.z[[3]] x5 = x/.z[[5]]

${{x -1}, {x1}, {x -(-1)^(1/3)}, {x (-1)^(1/3)}, {x -(-1)^(2/3)}, {x (-1)^(2/3)}}$

Следват техните числени стойности с 12 десетични знака:

N[x3,12]
N[x5,12]

Пример 3. Опитваме се да решим точно равнението , но вместо това системата ни връща списък с правилата за преобразованията. След това опитваме да решим уравнението числено с функцията NSolve[ ]. Уравнението има 2 реални и 6 комплексни корена.

${{xRoot[-1 - #1 + 25 #1^6 - 10 #1^10 + #1^14&, 1]}, {xRoot[-1 - #1 + 25 #1 ... 1^6 - 10 #1^10 + #1^14&, 13]}, {xRoot[-1 - #1 + 25 #1^6 - 10 #1^10 + #1^14&, 14]}}$

Пример 4. Опит за точно решаване на две тригонометрични уравнения, но това не винаги е възможно.

Solve[Cos[x]== a,x]
Solve[Cos[x]== 2x ,x]

Пример 5. За решаване на второто уравнение от пример 4 рисуваме графиката за да локализираме някой реален корен и прилагаме функцията FindRoot[ ], реализираща метода на Нютон. За начално приближение може да вземем x=0.

Plot[Cos[x]-2x,{x,-5,5}]
FindRoot[Cos[x]== 2x, {x,0}]

[Graphics:HTMLFiles/index_24.gif]

Пример 6. Аналогично решаваме система от две уравнения и запомняме намерените корени в променливите а и b :

f = 3x + y-5
g =-x + 2y+1
Solve[{f==0,g==0},{x,y}] (* В първите къдрави скоби е указан списъкът на уравненията *)
(* а във вторите къдрави скоби - списъкът на неизвестните x,y *)
N[%]
a= x/. %[[1]]
b= y/. %%[[1]]

Пример 7. Проверка чрез заместване:

a
b
f /. {x->a,y->b}
g /. {x->a,y->b}

1.57143

0.285714

0.

0.

Пример 8. Система уравнения с параметри:

Solve[{c*x + y==0, 3x + (1+c)y == 1}, {x,y}]

${{x -1/(-3 + c + c^2), yc/(-3 + c + c^2)}}$

Пример 9. Понякога отговорът е огромен (тук около 4 екранни страници формули) и може би не ни върши никаква полезна работа. За да го покажете/скриете можете да щракнете два пъти на скобата на клетката най-вдясно на реда.

$p = x^2 + 2y 3 ; q = 3x + y^21 ; Solve[ {p, q }, {x, y}]$

Ето числените стойности:

Пример 10. Ще решим система от две уравнения с две неизвестни x, y. За удобство запомняме уравненията в две помощни променливи ur1, ur2 . Забележете, че използваме символа == (равенство), вместо символа за присвояване =. Пробваме да решим точно задачата с функцията Solve[ ] относно {x, y}. Тя ни дава като изход възможните точни корени и описание за другите, според начина на решаване - тук чрез заместване на y. След това показваме числените стойности на резултата. Накрая извличаме стойностите на третата двойка решения в отделни клетки x3 и y3, което би ни позволило да ги използваме по-нататък при необходимост. Опитайте аналогично да решите и други задачи, да извлечете корени.

$ur1 = x^3 - 2x y - 10 ur2 = y^2/x + 4y - x -1 Solve[{ur1, ur2}, {x, y}] ... 0; решения *) x3 = x/.%[[3]] y3 = y/.%%[[3]]$

${{y0, x1}, {y1/2 Root[-1 - #1 + 7 #1^2 + 5 #1^3 + 9 #1^4 + #1^5&, ... ^3 + 9 #1^4 + #1^5&, 5]^4), xRoot[-1 - #1 + 7 #1^2 + 5 #1^3 + 9 #1^4 + #1^5&, 5]}}$

RowBox[{{, RowBox[{RowBox[{{, RowBox[{RowBox[{y, , 0.}], ,, RowBox[{x, , 1.}]} ... [{x, , RowBox[{RowBox[{-, 0.265139}], +, RowBox[{0.952031, , }]}]}]}], }}]}], }}]

Пример 11. При сложни примери си струва да се опита евентуално опростяване чрез елиминиране на неизвестни в някои уравнения. Ето елиминирането на x за системата от пример 10 и елиминирането на y. Като резултат получаваме уравнения от шеста степен съответно по y и по x.

opr1=Eliminate[{ur1,ur2},x]
opr2=Eliminate[{ur1,ur2},y]

Пример 12. Тук пък се решават уравненията от горния пример, но трябва да се доосмисли точното съответствие между стойностите на неизвестните.

rey=N[Solve[opr1,y]]
rex=N[Solve[opr2,x]]

Този проблем решаваме например така: отделяме втория корен за x от горния резултат (втори ред) и го заместваме в някое от изходните уравнения. Полученото уравнение решаваме относно y и така получаваме съответното решение. Крайният отговор е: { x = - 8.5107, y = 36.2737 }.

x2=x/.rex[[2]]
ur11=ur1 /. x->x2
N[Solve[ur11,y ]]

Пример 13. Mathematica решава и системи хомогенни уравнения. Следва система от три уравнения с три неизвестни.

$Clear[x, y, z] Solve[{x^2 + 2y - 3z0, x - z - y0, -x + 6y + 4z0}, {x, y, z}]$

Пример 14. Всички възможни случаи с изследване можем да получим с функцията Reduce. Тя използва представяне на резултата с логическите функции || (логическо събиране) и && (логическо умножение). Ето как изглежда решаването на квадратно уравнение с произволни параметри a, b, c.

x == (-b - (b^2 - 4 a c)^(1/2))/(2 a) &&a≠0 || x == (-b + (b^2 - 4 a c)^(1/2))/( ... ≠0 || a == 0&&b == 0&&c == 0 || a == 0&&x == -c/b&&b≠0

Ако заредим променливите с числени стойности, нещата изглеждат иначе:

a = 5 Reduce[a x^2 + b x + c0, x] b = 6 Reduce[a x^2 + b x + c0, x] c = -3 Reduce[a x^2 + b x + c0, x] N[%]

Пример 15. Тук даваме решаването на пример 10 с функцията Reduce. Понеже отговорът е доста дълъг и сложен логически израз, то няма да го показваме, като накрая на оператора запишем символа ; (точка и запетая). Веднага следва числената стойност на резултатите.

Reduce[{ur1, ur2},{x,y}];
N[%]

RowBox[{RowBox[{RowBox[{x, ==, 1.}], &&, RowBox[{y, ==, 0.}]}], ||, RowBox[{RowBox[{x, ... amp;&, RowBox[{y, ==, RowBox[{RowBox[{-, 0.282294}], +, RowBox[{0.23497, , }]}]}]}]}]

Пример 16. Накрая даваме и решаването на същата задача с числен метод, като се задава начална стойност на корените. При зададени реални значения се намира реален корен, а при комплексни - евентуален комплексен корен. Пробвайте и с други начални стойности за да намерите и други корени.

FindRoot[{ur1,ur2},{x,-1},{y,-1}]
FindRoot[{ur1,ur2},{x,-0.1+I},{y,I}]

$RowBox[{{, RowBox[{RowBox[{x, , 1.}], ,, RowBox[{y, , 1.28004*10^-13}]}], }}]$

Пример 17. Тук следва изразяването на едната променлива чрез другата.

f1=Reduce[ur1,y]
f2=Reduce[ur2,y]

                     3
               -1 + x
x != 0 && y == -------
                 2 x

                                              2
               -4 x - Sqrt[-4 (1 - x) x + 16 x ]
x != 0 && y == --------------------------------- || 
                               2
 
                                               2
                -4 x + Sqrt[-4 (1 - x) x + 16 x ]
 x != 0 && y == ---------------------------------
                                2

Created by Mathematica (December 29, 2007)